ALJABAR (2)

A.     SIFAT OPERASI DASAR

Misalkan a, b, dan c adalah suatu bilangan, maka berlaku beberapa sifat operasi dasar berikut :

a.      (a + b) x c = (a x c) + (b x c)

      (a - b) x c = (a x c) - (b x c)

b.     a + a = 2a

a + a + a = 3a

a + a + a + a = 4a

(secara umum, penjumlahan a sebanyak n kali ditulis dengan na)

c.      a x b sering ditulis dengan ab

d.      a x a = a² (dibaca a kuadrat)

e.      (a + b)² = a² + 2ab + b²

f.       (a - b)² = a² - 2ab + b²

g.      a² – b² = (a – b)(a + b)

B.     OPERASI KHUSUS

Operasi khusus adalah operasi hitung yang didefinisikan secara khusus, jadi tidak bersifat umum. Ada beberapa operasi khusus yang sudah diberitahukan definisinya, tetapi ada pula beberapa operasi khusus yang tidak diberitahukan definisinya.

Contoh soal :

Jika a * b didefinisikan sebagai a * b = (a – b) : 2, maka berapakah nilai dari (31 * 9) * 3 ?

Pembahasan :

(31 * 9) * 3 = ((31 – 9) : 2) * 3

= (22 : 2) * 3

= 11 * 3

= (11 – 3) : 2

= 8 : 2

= 4

Bandingkan dengan contoh soal berikut ini :

Diketahui bahwa 4 * 2 = 14;  5 * 3 = 22;  3 * 5 = 4;  7 * 18 = 31

Carilah nilai dari 6 * 9 !

Pembahasan :

Dari soal diatas dapat dicari polanya sehingga akan ditemukan a * b = a² – b

Jadi, 6 * 9 = 6  – 9 = 36 – 9 = 27

(Untuk contoh kedua ini kita harus pandai menebak atau memperkirakan definisi dari operasi khusus yang memenuhi semua pernyataan yang diketahui.

C.     BILANGAN HASIL BAGI

Bilangan yang dapat habis dibagi disebut kelipatan. Jadi bilangan kelipatan n adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi dengan n.

Contoh : bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, …

Bilangan yang habis membagi disebut faktor. Jadi faktor dari n adalah bilangan-bilangan yang dapat membagi habis bilangan n.

Contoh : faktor dari 20 adalah 1, 2, 4, 5, 10, dan 20

Berikut beberapa contoh soal olimpiade matematika yang dapat diselesaikan dengan konsep hasil bagi ataupun kelipatan.

Contoh soal 1 :

Diketahui umur John kurang dari 50 tahun. Saat ini umurnya merupakan kelipatan 6 dan tahun depan umurnya merupakan kelipatan 5. Coba hitunglah umur John sekarang ?

Pembahasan :

Kemungkinan umur John sekarang adalah kelipatan 6 yang kurang dari 50, yaitu :

6        12        18        24        30        36        42        48

Dari data di atas, maka kemungkinan umur John tahun depan yaitu :

6+1    12+1    18+1    24+1    30+1    36+1    42+1    48+1

7        13        19        25        31        37        43        49

Umur John tahun depan kelipatan 5, jadi yang memenuhi umur John tahun depan adalah 25….., sehingga umur John sekarang adalah 24 tahun.

Contoh soal 2 : (Soal olimpiade matematika SD/MI Muhammadiyah se-Indonesia)

Tanggal 6 Maret 2005 adalah hari Minggu. Tentukan hari apakah 100 hari dari tanggal tersebut !

Pembahasan :

Kita ketahui bahwa dalam satu minggu ada 7 hari yang artinya tiap hari tertentu akan berulang pada kelipatan 7. Sehingga kita tinggal mencari hasil bagi dari 100 : 7, yaitu diperoleh 14 sisa 2. Artinya hari ke-98 adalah hari Sabtu, hari ke-99 hari Minggu dan hari ke-100 jatuh pada hari Senin. 

Latihan Soal Olimpiade Matematika

Bab. Aljabar

1.     Hitunglah nilai dari : 9 + 32 x 21 : 4 : 3 + 5 x 2 !

2.     Jika a, b, dan c mewakili suatu angka yang memenuhi persamaan berikut :

a + 2 = b – 3 = 4 + c

Manakah dari ketiga huruf tersebut yang memiliki bilangan terbesar ?

3.     Jumlah 100 bilangan asli pertama adalah 5050. Hitunglah 101 + 102 + 103 + … + 200 !

4.     Tentukan nilai dari (7 + 3)² – (7² + 3²) !

5.     Jumlah 5 bilangan asli berurutan adalah 350. Tentukan bilangan terbesar dari kelima bilangan tersebut !

6.     Hasil kali dua bilangan adalah 128 dan hasil bagi kedua bilangan itu adalah 8. Berapakah nilai kedua bilangan itu ?

7.     Umur pak Totok sekarang 4 kali umur anaknya. 6 tahun yang akan datang umurnya akan 3 kali umur anaknya. Berapakah umur pak Totok sekarang ?

8.     Dengan menggunakan hanya bilangan bulat 2, 4, 7, 8 dan 9, berapakah selisih terbesar antar bilangan tiga angka dengan bilangan dua angka ?

9.     Tentukan angka satuan dari 2¹⁵ !

10.   Diketahui : 3 # 5 = 16;  4 # 2 = 12;  5 # 6 = 11. Tentukan nilai dari 8 # 9 !

Selamat Menikmati !!!




Catatan :
Khusus bagi siswa/i SD Plus Rahmat, silahkan kerjakan latihan soal di atas pada selembar kertas, kemudian serahkan ke Ustad Jon/Ustad Sigid/Ustad Wahyu untuk dikoreksi. 
* Jika benar semua akan mendapatkan hadiah menarik dan pembinaan khusus. 
* Bagi yang belum benar semua jangan kuatir tetap akan diberikan souvenir yang   menarik pula)